私の場合は、送信を押すと確認がでて確定させるとサンクスページが表示されましたが、管理者側へも送信者側にもメールが届きませんでした。
config.phpのメールアドレスを未設定と、設定後も確認しましたが、どちらもメールは届きませんでした。
PHPバージョンは、5.3.3とのことです。
設置URLは、https://www.cocome.shop/mail/ です
症状を確認できました。
お使いのサーバでは独自プログラムの設置によるメール送信機能が許可されていますでしょうか？
もう少し具体的な表現で言いますと、「PHPのmb_send_mail関数によるメール送信が許可されているか？」を確認していただければ幸いです。